回归分析是一种很重要的预测建模技术。主要是研究自变量与因变量之间的因果关系。本文将会从数学角度与代码角度分析不同类型的回归。当你想预测连续型的非独立变量，或者对一系列独立变量或输入项有所反应时，就会使用到回归分析。如果非独立变量是二分的，那么我们将会使用到逻辑回归。
对于回归技术的分类，在这里我不想过多细分，但是一般回归会依赖于三个方面进行区分： +自变量数目 +回归函数曲线的形状 +因变量的类型
首先我们来了解下面几种常用的回归算法模型
简单线性回归（Simple Linear Regression）
简单线性回归是最基础的一种回归模型，自变量只有一个，函数曲线为直线，因变量为连续型，自变量可以是连续的或者是离散的。函数表示如下：
其中 y 是因变量， x是自变量， β0 和 β1 属于起始值和系数，ε 为偏移量，为了使得到的函数模型更加准确，最后会加上偏移量。
线性回归一般使用最小二乘法来求解函数模型级求解 β0 和 β1 。 方法如下：最小二乘法
如图中四个点为数据（x,y）:（1,6）（2,5）（3,7）（4,10）。我们需要根据红色的数据来求蓝色的曲线。目前我们已知这四个点匹配直线y= β1 + β2x 。所以我们要找到符合这条直线的最佳情况，即最合适的β0 和 β1。
最小二乘法就是尽量取两边方差的最小值，这样可以找到最拟合的曲线。
然后我们我们同时对β0和β1求其偏导数
这样我们很容易就解除方程组的解
所以我们就得到了直线 y=3.5 + 1.4x
用Python和Java代码表示如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Dec 01 00:02:49 2016
@author: steve
"""
def SLR(x,y):
intercept = 0.0
slope = 0.0
n = len(x)
sumx = 0.0
sumy = 0.0
sumx2 = 0.0
# 第一次循环，得到平均值
for i in range(n):
sumx += x[i]
sumy += y[i]
sumx2 += x[i]*x[i]
xbar = sumx/n
ybar = sumy/n
xxbar = 0.0
yybar = 0.0
xybar = 0.0
# 第二次循环，得到方差
for i in range(n):
xxbar += (x[i] - xbar) * (x[i] - xbar);
yybar += (y[i] - ybar) * (y[i] - ybar);
xybar += (x[i] - xbar) * (y[i] - ybar);
# 计算斜率和intercept
slope = xybar / xxbar
intercept = ybar - slope * xbar
print "slope is {}, intercept is {}".format(slope, intercept)
## 其他统计变量我就不写了。
x=[1,2,3,4]
y=[6,5,7,10]
SLR(x,y)
package regression;
public class SLR {
// 这是用二分法做的简单线性回归
private final double intercept, slope;
private final double r2;
private final double svar0, svar1;
public SLR(double[] x, double[] y) {
if (x.length != y.length) {
throw new IllegalArgumentException("lengths doesn't match!!!");
}
int n = x.length;
// 第一次循环，找到 所有x和y的平均值
double sumx = 0.0;
double sumy = 0.0;
double sumx2 = 0.0;
for (int i=0; i<n; i++) {
sumx += x[i];
sumy += y[i];
sumx2 += x[i]*x[i];
}
double xbar = sumx / n;
double ybar = sumy / n;
// 第二次计算，求出方差
double xxbar = 0.0;
double yybar = 0.0;
double xybar = 0.0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
xxbar += (x[i] - xbar) * (x[i] - xbar);
yybar += (y[i] - ybar) * (y[i] - ybar);
xybar += (x[i] - xbar) * (y[i] - ybar);
}
System.out.println(xxbar);
System.out.println(yybar);
System.out.println(xybar);
slope = xybar / xxbar; //求偏导数的过程
intercept = ybar - slope * xbar;
// 其他的统计数据
double rss = 0.0; // residual sum of squares
double ssr = 0.0; // regression sum of squares
for (int i = 0; i < n; i++) {
double fit = slope*x[i] + intercept;
rss += (fit - y[i]) * (fit - y[i]);
ssr += (fit - ybar) * (fit - ybar);
}
int degreesOfFreedom = n-2;
r2 = ssr / yybar;
double svar = rss / degreesOfFreedom;
svar1 = svar / xxbar;
svar0 = svar/n + xbar*xbar*svar1;
}
public double intercept() {
return intercept;
}
public double slope() {
return slope;
}
public double R2() {
return r2;
}
public double slopeStdErr() {
return Math.sqrt(svar1);
}
public double interceptStdErr() {
return Math.sqrt(svar0);
}
//这是预测方法，在机器学习中的函数
public double predict(double x) {
return slope*x + intercept;
}
public String toString() {
StringBuilder s = new StringBuilder();
s.append(String.format("%.2f n + %.2f", slope(), intercept()));
s.append(" (R^2 = " + String.format("%.3f", R2()) + ")");
return s.toString();
}
}
多元线性回归类似于简单线性回归，只不过自变量不止一个，但是过程和方法与简单线性回归一样。这里我只把代码放出来。
多项式回归（Polynomial Regression）
如果一个方程，自变量的指数大于1，那么所有拟合这个方程的点就符合多项式回归。
多项式回归有个很重要的因素就是指数（degree）。如果我们发现数据的分布大致是一条曲线，那么很可能符合多项式回归，但是我们不知道degree是多少。所以我们只能一个个去试，直到找到最拟合分布的degree。这个过程我们可以交给数据科学软件完成。需要注意的是，如果degree选择过大的话可能会导致函数过于拟合， 意味着对数据或者函数未来的发展很难预测，也许指向不同的方向。
这个回归的计算需要用到矩阵数据结构。有的编程语言可能需要导入外库。
我们对所有拟合这个公式的点，用矩阵表示他们的关系
如果用矩阵符号表示：
多项式回归向量的系数（使用最小二乘法）：
Java 和 Python 代码如下：
package regression;
import Jama.Matrix;
import Jama.QRDecomposition;
public class PR {
private final int N;
private final int degree;
private final Matrix beta;
private double SSE;
private double SST;
public PR(double[] x, double[] y, int degree) {
this.degree = degree;
N = x.length;
// build Vandermonde matrix
double[][] vandermonde = new double[N][degree+1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= degree; j++) {
vandermonde[i][j] = Math.pow(x[i], j);
}
}
Matrix X = new Matrix(vandermonde);
// 从向量中增加一个矩阵
Matrix Y = new Matrix(y, N);
// 找到最小的平方值
QRDecomposition qr = new QRDecomposition(X);
beta = qr.solve(Y);
// 得到y的平均值
double sum = 0.0;
for (int i = 0; i < N; i++)
sum += y[i];
double mean = sum / N;
// total variation to be accounted for
for (int i = 0; i < N; i++) {
double dev = y[i] - mean;
SST += dev*dev;
}
// variation not accounted for
Matrix residuals = X.times(beta).minus(Y);
SSE = residuals.norm2() * residuals.norm2();
}
public double beta(int j) {
return beta.get(j, 0);
}
public int degreee() {
return degree;
}
public double R2() {
return 1.0 - SSE/SST;
}
public double predict(double x) {
double y = 0.0;
for (int j = degree; j>=0; j--) {
y = beta(j) + (x*y);
}
return y;
}
public String toString() {
String s = "";
int j = degree;
// 忽略系数为0.
while (Math.abs(beta(j)) < 1E-5)
j--;
// create remaining terms
for (j = j; j >= 0; j--) {
if (j == 0) s += String.format("%.2f ", beta(j));
else if (j == 1) s += String.format("%.2f N + ", beta(j));
else s += String.format("%.2f N^%d + ", beta(j), j);
}
return s + " (R^2 = " + String.format("%.3f", R2()) + ")";
}
}
逻辑回归（Logistic Regression）
逻辑回归是我最喜欢的一种回归，因为表达的是概率事件。
Probit model
逐步回归（Stepwise Regression）
岭回归（Ridge Regression）
套索回归（Lasso Regression）
弹性网（Elastic net）
本文参考了Sunil Ray的7 Types of Regression Techniques you should know!
